克莱因（M. Kline）于1972年出版的《古今数学思想》（Mathematical Thought from Ancient to Modern Times），曾被西方学者评为是“最好的数学史著作”。1970年代末，北京大学数学系的教师们把它译成中文后，在我国也产生了相当大的影响。最近我通读了这套丛书，对数学思想有了进一步的理解，感想颇多，现和大家分享：

 第一方面；数学的起源：

    正如许多人士已指出的，《古今数学思想》有一些明显的局限，其中之一就是“欧洲中心”的偏见：认为真正的数学始于古典希腊，然后经过千年停滞，再从欧洲文艺复兴开始发展。克莱因评论“希腊人在数学史中的地位至高无上”，在此以前的巴比伦和埃及人只有简单粗浅的数学；至于中国、日本和玛雅人，则因为“他们的工作对数学思想的主流没有什么影响”而在书中被忽略。克莱因的观点和做法已招致多方批评，在此不再重复。本文只想强调：应该以实事求是的态度，平等地看待古代各大文明，只有这样才能够较好地理解数学的起源和发展。事实上在各大文明中数学的起源和发展过程有很多相似的地方，并且它们的不同之处也可以被合理地解释。
    史料和研究表明，人类在一万年前的新石器时代已经掌握计数和识别一些几何图形。但是直到大约四五千年前才开始产生真正的数学。这时人类进入了农业社会，发明了文字和建立了国家：农业要求准确地掌握时令、丈量土地、兴修水利；国家则要进行复杂的商品交换、财富分配和税赋摊派；这些都需要数学；而文字使得数学知识得以交流和积累。
    最早形成的是以测量为主的几何学，值得注意的是它与水患密切相关：埃及的几何学起源于尼罗河泛滥后土地的重新测量，那些测量人被称为拉绳者；在中国，据《周髀算经》记载，大禹治水（约四千年前）用矩作深、高、远的测量因而产生了勾股术。由于尼罗河很久以来每到一年中的6—10月就要泛滥，所以年复一年地在平面土地上用拉绳进行测量，很自然会对几何图形中点、线、面的一般性质和关系有较多的了解和研究；埃及的几何学后来传到希腊，后者结合他们发达的逻辑学，最终创立了公理化的欧几里得几何学。而大禹治水仅用了13年，消除洪患后的田地可以长期保持规则的形状，如象形字“田”。于是计算基本图形（如矩形、方体和圆）或它们的截切图形（如直角三角形、鳖臑、阳马和牟合方盖）的几何量（如边长、面积或体积）成为中国几何学的主要课题；勾股术则发展成为完整的直角三角形相似理论。另外，建造陵墓（如埃及金字塔）和祭坛（在印度和希腊）也是几何学的重要来源。代数起源于用加减乘除和开方解决实际应用问题，如几何量的计算、天文测量、实物分配和纯数量的确定等，其中关于平面直线图形和空间直面图形中各种关系量的计算占据着中心的地位。在已发现的、属于四千年前巴比伦的楔形文字泥石板上，记载着大量的诸如矩形的边长和面积之间关系的代数问题，其解法与现代解一元二次方程的方法一致。中国的赵爽（约公元200年）为《周髀算经》作的注中，给出了直角三角形的三边勾股弦之间的一系列的代数关系。古希腊欧几里得的《几何原本》（约公元前300年）第二卷实际上就是用几何学的语言叙述代数问题，史称“几何代数”；而丢番图的《算术》（约公元250年）被认为是古希腊代数学的最高成就，其中把数自乘称为“平方”、自乘两次称为“立方”的叫法流传至今。代数对于几何的依附是长期的，第一部《代数学》的作者阿拉伯学者花拉子米（约780—850）仍然在用几何方法来证明他的代数结果。直到19世纪代数学才完全摆脱现实世界的限制，成长为一门完全独立的学科。
    计算圆、球以及它们的各种截切图形或生成图形的有关几何量（如圆周率、球表面积、球体积和圆锥体体积等），在古代数学研究中一直占据重要地位。各大文明中都有最杰出的数学家为之做出贡献，如希腊的阿基米德，中国的刘徽、祖冲之和祖暅之，印度的婆什迦罗以及日本的关孝和等。这类计算或明或暗地使用了无限分割的概念，实是17世纪后迅速发展的以微积分理论为核心的分析学之滥觞。圆锥曲线理论是希腊人独特的创造，它起源于对著名的三大几何问题化圆为方、倍立方和三等分任意角的研究。阿波罗尼斯（Apollonius，约前262—前190）的《圆锥曲线论》与欧几里得的《几何原本》一样，集中了希腊数学的精华。令人惊奇的是，两千年后德国天文学家开普勒发现行星运行的轨道就是以太阳为焦点的一个椭圆！这导致牛顿发现了万有引力。科学史上一个有趣的问题是，如果没有希腊人的圆锥曲线理论，是否可能发现万有引力？还会不会出现现代科学和现代社会？圆锥曲线理论后来被分析学完全容纳。
    几何、代数和分析这三大数学学科，不约而同地产生于各大文明中，虽然具体内容有或多或少的差别。这三门学科刚开始时纠缠在一起，难分彼此；但后来逐渐分离，各自发展成为独立的数学分支。五千年来数学经历了千变万化，几何、代数和分析的发展与相互作用则是贯穿始终的主旋律。
第二方面；几何学的发展：
    几何学发展的一个方向是形数结合：关于平面和立体简单图形的面积、体积的计算早已转化为代数问题；而法国人笛卡儿和费马引进坐标几何后，把整个几何都代数化了：直线和平面被表为线性方程，圆锥曲线表为二元二次方程，而计算图形的面积、体积转化为求函数的积分。从此代数学和分析学成为研究几何的主要工具。
    几何图形用代数方程、函数映射以及微分方程来表示，结果产生了大量的更一般的图形，为研究这些图形又发展了新的数学分支：利用导数研究图形的切线、曲率等局部性质导致了微分几何学的产生；为研究代数方程的图形而形成了代数几何学，其中关于一种二元三次方程图形的研究叫做椭圆曲线理论，它在现代数学中的重要性堪比历史上的圆锥曲线。
    几何学的另一个发展方向是探索和研究空间的性质；其中最有深远意义的一步是发现非欧几何。欧几里得《几何原本》中作为第五公设的平行公理长期受到怀疑，不断有人试图用其他几条公理把它证明出来却总是徒劳无功。直到19世纪，匈牙利人波尔约（J.Bolyai）、德国人高斯和俄国人罗巴切夫斯基（Н.И.Лобачевский）各自独立地认识到这样的证明是不可能的，他们用不同的公理代替平行公理，从而得到非欧几何。
    发现非欧几何的意义远远超出几何学本身：它粉碎了哲学家康德关于欧氏几何是空间的先验综合真理的论断；几千年来几何学作为数学可靠性基础的信念被动摇，数学家们开始为数学打造算术化的基础，这些都反映在以希尔伯特、布劳威尔（L. E. J. Brouwer）等为代表的数学基础和数理逻辑的研究工作中。
    就几何学本身来说，平行公理是关于空间整体性质的一条命题，非欧几何的发现表明并不能简单地根据空间的局部性质来判断整个空间究竟如何。德国人黎曼为了探究局部满足欧氏几何的空间可能会有怎样的结构，创立了黎曼几何。它后来成为爱因斯坦广义相对论的基础。然后产生了流形的概念：在流形上每个局部可以用笛卡儿坐标刻画，但其整体的结构却千差万别。把欧氏空间中经典的方法和成果推广到可微流形，成为微分几何学的重要课题：外尔（H. Weyl）、嘉当（E. J. Cardan）等人引进了联络的概念，这是欧氏空间中导数和微分的推广；韦伊（A.Weil）、陈省身等人把经典的高斯 博内定理推广到黎曼流形；为研究流形上的几何结构，陈省身等人发展了纤维丛理论，它后来被发现与物理学的规范场论不谋而合。通过考察图形或流形的种种映射性质并结合代数工具对它们分类，这种研究图形和流形的新方法叫做拓扑学，它由法国人庞加莱开创。维数、同胚、同伦、同调、连通、亏格等拓扑语言，在20世纪的数学文献中随处可见。庞加莱猜想说，单连通的三维闭曲面必与三维球面同胚。这一猜想至今仍未证明。
第三方面；代数学的发展：
    花拉子米发明了algebra（代数学）这个词，其意指“还原”（相当于在等式两边去掉负项）和“对消”（相当于在等式两边消去或合并同类项），这个词反映了代数的运算特征。而中文译名“代数”为英国来华传教士伟烈亚力（A.Wylie）所创，按字面意思可以解释为“（用符号）代替数字（未知量或常量）”，这反映了代数的符号化特征。
    代数学在成为一门独立的学科之前，必须走完关键的两步。
    第一步是符号化。其中最重要的是未知数的符号化，它的意义在于承认未知数同已知数一样是一种存在的实体，从而不必把它解出就可以对它进行研究，以了解它的种种性质。在古代中国和日本，曾经发展了一元高次方程的开方术，即求方程根的数值解的方法，这些方法并不关心方程根可能有怎样的性质。这是开方术与以后的根式解研究的本质区别。未知数符号化的尝试先后出现在古代的不同国度中：例如印度人婆罗摩笈多（Brahmagupta）曾用不同的颜色表示不同的未知数；在中国宋元时期，李冶用“天元一”表示一个未知数，而朱世杰则用天、地、人、物四元来表示四个未知数。现代人用字母表示未知数和已知数，并使用“＋”、“－”、“×”、“÷”、“＝”等记号，这些都是在15—17世纪期间逐步形成的。第二步是数系的扩展。这方面的进步也非常缓慢。虽然早在两千年前，中国的《九章算术》中已有完整的分数计算，同时希腊人已经掌握了无理数；但是直到18世纪人们对负数的性质还不甚清楚，并且怀疑复数的存在；一直到该世纪末高斯证明了代数基本定理，人们才接受了研究代数所需要的全部的数。自此以后，代数学摆脱了对现实世界的依赖，开始了独立的突飞猛进的发展。
    代数学发展的一条主线是一元代数方程根式解的研究。虽然早在四千年前巴比伦人就会用配方法解二次方程，但是直到16世纪意大利的数学家才发现根式解三、四次方程的一般方法。19世纪，阿贝尔证明用根式解一般五次方程不可能。最后是伽罗瓦首创群论方法，确定了n次方程可用根式解的充要条件是其根的置换群为可解群。他在彻底了结这个延续了数千年的代数问题的同时，打开了抽象代数学的发展大门。抽象代数学研究群、环、域、模、理想、格等代数结构，它在1930年代由诺特（E.Noether）与阿廷（E.Artin）等人正式确立，成为20世纪代数学的主流。1637年，费马提出了“除平方之外，任何次幂都不可能分拆成两个同次幂”的所谓费马大定理。为证明这个定理，库默尔（E.E.Kummer）把整数分解的方法推广到了分圆域，并创立了理想论。他不仅因此发现了“理想”这个新代数结构，而且开创了代数数论的研究。“代数”这个词现在不仅代表了一种数学学科，还专指一种带有加法和乘法运算的抽象代数结构。“交换代数”则是研究代数几何的基础。
第四方面；分析学的发展：
     17世纪牛顿和莱布尼茨发明的微积分，被认为“是继欧几里得几何之后，全部数学中最大创造”；然而它实际上是古代数学中无限分割思想在笛卡儿坐标体系下的自然发展。从此无穷的概念正式进入数学并大显身手：无穷小分析成为几乎无处不在的数学语言，无穷级数也被广泛使用。分析学则成为与几何和代数同样重要的数学分支。函数是分析学的中心概念，在牛顿时代人们只研究光滑的连续函数，但不久就发现了种种不连续、不可微的怪异函数，如何处理这些函数曾使分析学家们伤透脑筋。
     康托尔创立了集合论，为分析乃至整个数学奠定了逻辑基础；因出现了悖论，人们曾对集合论是否可靠感到担心。罗素、希尔伯特、布劳威尔等试图为数学建立更牢固的基础，但均未成功。如今数学家们肆无忌惮地使用集合论的成果，全然不顾它是否会导致错误的结论。黎曼曾建立了有限区间上的积分理论，但它不适用于一大类有意义的函数。于是法国人勒贝格发明了测度论，创立了关于可测函数的勒贝格积分，由此诞生了实变函数论。所谓复变函数论实际指单复变量的函数论，它曾经是19世纪分析学的中心内容：高斯利用它证明了代数基本定理；阿贝尔在这里创造了椭圆函数和椭圆积分；黎曼通过研究多值函数发现了黎曼面，这个结构对于几何学和代数学也都有重要意义。在20世纪，共形映射与值分布理论成为重要的研究课题。多复变函数论则被称为复分析，它形成于20世纪初，现在发展十分迅速。泛函分析也可称为“函数的”函数理论，因为它研究的是作用在函数上的变换或算子。它起源于对变分法和积分方程等的研究。弗雷歇于1906年创立了抽象空间（函数是其中的“点”）理论，从而奠定了泛函分析的基础。重要的抽象空间包括巴拿赫空间和希尔伯特空间。泛函分析不仅在数学而且在物理学等学科中有广泛应用，是现代分析学的基本内容。
     《古今数学思想》中很少涉及20世纪数学，因为克莱因认为这段时期的许多数学成果尚有待于经受时间的检验，而且他对现代数学的过度抽象化也持保留态度。事实上，无论就纯粹数学还是就应用数学来说，20世纪的发展都远远超过以往的世纪；五千年的数学历史短缺了最精彩最丰富的最后100年，无论如何是一大遗憾。所幸最近出版的 《20世纪数学经纬》，全面介绍了20世纪的数学人物、事件和成就，从而可以填补这段空白。 纵观五千年数学，波澜壮阔，精彩缤纷，令人惊叹。浮光掠影地一瞥，当然只能略及皮毛，粗知大概。不过我们还是可以看出，数学的发展与人类文明的进步状况密切相关。在原始社会，人类只会记数和识别简单的几何图形。这种本领部分出自动物本能的一种发展，部分出自原始部落内部成员间口头学习和交流。进入农业社会，人类建立国家，开始了大规模的社会合作、社会分工和社会生产。由于社会需要，很自然地产生了以几何学为主要内容的古典数学。文字著作成为传播数学知识的重要手段，交流的范围也扩大到了一个国家或属于同一文明的相邻国家。可以断定不同文明中的数学基本上是独立发展的；但它们的历程和内容有许多相似之处，这表明这段时期的社会结构和社会生产很大程度决定了当时的数学。然而不同文明中的数学也有明显的不同，这可以用自然环境或文化的差异来解释。15世纪开始的欧洲文艺复兴为人类进入工业化的现代社会做准备，数学也开始酝酿思想变革。17世纪以后人类的科学、技术和生产活动越来越广泛深入，数学也随之飞速发展。数学交流使用杂志论文这种更迅速方便的手段；随着数学交流跨越了国界，数学研究也成为国际化的活动。由于人类的这场社会革命首先从西方开始，所以与它同时产生的现代数学也很自然地带上明显的西方古典数学思想的烙印。计算机与网络把人类带进了21世纪，我们正在经历信息时代的革命。通信与交流从来没有这样的便利和迅速，数学家交流思想和研究成果从来没有这样容易；科学技术与生产的发展达到了前所未有的顶峰。面对如此形势，我们有理由相信，很可能在这一世纪里会发生另一场数学思想的革命；与以往不同的是，这次革命将会有全世界的数学家共同参与。
      让我们拭目以待，数学这棵古老的常青树将在21世纪中长出怎样的新干和新芽。
 

                                    新乡一中数学组：陈明宇

                                        2011。9。2