首先，我要感谢国际数学奥林匹克（香港）委员会及香港教育署让我有机会在“数学普及讲座及交流系列”上作讲演。尤其要感谢国际数学奥林匹克（香港）委员会主席岑嘉评教授及谭炳均博士。我也要感谢今天来出席会议的各位香港的中学老师和同学。再过三天就要过春节了，大家都很忙，有很多事情要做，可是还抽空来听我的讲演，使我很感动。
 
这次讲演，打算讲以下几点：
一、百年前的讲演
二、百年前的讲演的启示
三、算术与代数
四、几何与三角
五、微积分
六、几点启示
七、结束语
 
一、百年前的讲演
 
今天是2001年1月20日，二十一世纪刚刚开始了20天。在100年前，即1904年8月5日，德国数学家DavidHilbert（1862―1943）在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演。这是载入数学史册的重要讲演。他在讲演的前言和结束语中，对数学的意义、源泉、发展过程及研究方法等，发表了许多精辟的见解。而整个讲演的主体，则是他根据十九世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要领域。一百年来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣，100年过去了，这些问题近一半已经解决或基本解决，但还有些问题虽取得了重大进展，但未最后解决，如：Riemann猜想，Goldbach猜想等。
 
100年过去了，对Hilbert在1900年提出的23个问题，现在回过头来看，有不少评论。但是很多人认为：这些问题，对推动二十世纪数学的发展起了很大的作用，当然也有评论说其不足之处，例如：这23个问题中未能包括拓扑学、微分几何等在二十世纪成为前沿学科的领域中的数学问题；除数学物理外很少涉及应用数学待等。当然更不会想到二十世纪电脑的大发展及其对数学的重大影响。二十世纪数学的发展实际上是远远超出了Hilbert问题所预示的范围。
 
D。Hilbert是十九世纪和二十世纪数学交界线上高耸着的三位伟大数学家之一，另外二位是HenriPoincare（1854―1912）及FelixKlein（1849―1925），他们的数学思想及对数学的贡献，既反射出十九世纪数学的光辉，也照耀着二十世纪数学前进的道路。
 
D。Hilbert是在上一个世纪，新、旧世纪交替之际作的讲演，现在又一个新的世纪开始了，再来看看他的讲演，其中一些话，现在仍然适用，例如在讲演一开始，他说“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看在今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？”他还接着说：“历史教导我们，科学的发展具有连续性。我们知道，每个时代都有它自己的问题，这些问题后来或者得以解决，或者因为无所裨益而被抛到一边并代之以新的问题。因为一个伟大时代的结束，不仅促使我们追潮过去，而且把我们的思想引向那未知的将来。”
 
二十世纪无疑是一个数学的伟大时代，二十一世纪的数学将会更加辉煌。“每个时代都有它自己的问题”，二十世纪来临时，Hilbert提出了他认为是那个世纪的23个问题。这些问题对二十世纪数学的发展起了很大的推动作用，但二十世纪数学的成就却远远超出他所提出的问题。那么二十一世纪的问题又是什么呢？Hilbert1900年在巴黎国际数学家大会上提出这些问题时，才38岁，但已经是当时举世公认的德高望重的领袖数学家之一。大家知道，2002年国际数学家大会将在中国北京召开，这是国际数学家大会第一次在第三世界召开，那么在这新旧世纪交替之际，会不会有像Hilbert这样崇高威望的人在会上提出他认为的二十一世纪的数学问题或是以其他的形式展望二十一世纪的数学？这个我当然不知道，但这些年来，已有不少数学家提出他自己认为的二十一世纪的数学问题，但往往是“仁者见仁，智者见智”。
 
二、百年前的讲演的启示
 
对Hilbert的23个问题不在这里介绍了，因为它超越了中学数学的范围。但百年前，Hilbert演讲中对数学的一些见解都是非常的深刻，百年过去了，重读他的演讲，依然得到很多启示，我也不可能在这短短的一个多小时内，对他的演讲的各个部分来阐述自己的体会，我只想讲一点对他说的其中的一段话自己的粗浅认识。
 
从十七世纪六十年代，微积分发明以来，数学得到了极大的发展，分支也愈来愈多。开始时一些大数学家，对各个分支都懂，并且做出了很重大的贡献。但后来数学的分支愈分愈细，全面懂得各个分支的数学家愈来愈少，到十九世纪末，Hilbert做讲演时，已经是这种情况，于是在讲演中，他说了这样一段话：“然而，我们不禁要问，随着数学知识的不断扩展，单个的研究者想要了解这些知识的所有部门岂不是变得不可能了吗？为了回答这个问题，我想指出：数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边，数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。因此，对于个别的数学工作者来说，只要掌握了这些有力的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其它科学更容易地找到前进的道路。”。一百年过去了，数学发展得更为广阔与深人，分支愈来愈多，现在数学已有六十个二级学科、四百多个三级学科，更是不得了，所以Hilbert的上述这段话现在显得更为重要。不仅如此，Hilbert的这段话实际上讲的是数学发展的历史过程，十分深刻地揭示了数学发展是一个新陈代谢，吐故纳新的过程，是一些新的有力的工具，更简单的方法的发现，与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程，是“高级”的数学替代“低级”的数学的过程，而“数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。”事实上，在数学的历史中，一些新的有力的工具，更简单的方法的发现，往往标志着一个或多个数学分支的产生，是一些老的分支的衰落甚至结束。
 
回顾一下我们从小开始学习数学的过程，就是在重复这个数学发展的过程。一些数学虽然后来被更有力的工具和更简单的方法所产生的新的数学所替代了，即“低级”的被“高级”的所替代了，但在人们一生学习数学的过程中，却不能只学习“高级”的，而完全不学习“低级”的，完全省略掉学习“低级”的过程。这是因为人们随着年龄的不断增加，学习与他的年龄与智力相当的数学才是最佳选择，学习数学是一个循序渐进的过程，没有“低级”的数学打好基础，很难理解与学习好“高级”的数学。
 
以下我们从Hilbert讲演中的这一段精辟的论述的角度来认识我们的中小学的数学课程。我只是从数学发展的历史的角度来讨论问题，为大家从数学教育的角度来讨论问题作参考。但我必须强调的是：从数学发展的历史的角度来考虑问题与从数学教育的角度来考虑问题虽有联系，但是是不一样的。
 
三、算术与代数
 
人类有数的概念，与人类开始用火一样古老，大约在三十万年前就有了。但是有文字记载的数学到公元前3400年左右才出现。至于数字的四则运算则更晚，在我国，《九章算术》是古代数学最重要的著作，是从先秦到西汉中叶的众多学者不断修改、补充而成的一部数学著作，成书年代至迟在公元前一世纪。这是一本问题集形式的书，全书共246个题，分成九章，包含十分丰富的内容。在这本书中有分数的四则运算法则、比例算法、盈不足术、解三元线性代数方程组、正负数、开方以及一些计算几何图形的面积与体积等。在西方，也或迟或早地出现了这些内容，而这些内容包括我们从小学一直到中学所学习“算术”课程的全部内容。也就是说人类经过了几千年才逐步弄明白建立起来的“算术”的内容，现在每个人在童年时代花几年才逐步弄明白建立起来的“算术”的内容，现在每个人在童年时代花几年就全部学会了。对于“算术”来讲，“真正的进展”是由于“更有力的工具和更简单的方法的发现”，这个工具与方法是“数字符号化”，从而产生了另一门数学“代数”，即现在中学中的“代数”课程的内容。在我国，这已是宋元时代（约十三世
 
纪五六十年代），当时的著作中，有“天元术”和“四元术”，也就是让未知数记作为“天元”、“x”，后来将二个、三个及四个未知数记作为“天”、“地”、“人”、“物”等四元，也就是相当于现在用x，y，z，w来表达四个未知数，有了这些“元”，也就可以解一些代数方程与联立线性代数方程组了。在西方彻底完成数字符号化是在十六世纪。现在中学生学习的“代数”的内容：包括一元二次方程的解，多元（一般为二元，三元至多四元）联立方程的解等。当然在“数字符号化”之前，一元二次方程的解，多元联立方程的解也是已经出现，例如我国古代已经有一些解一般数字系数的代数方程的“算法程序”，但这些都是用文字来表达的，直到“数字符号化”之后，才出现了现在中学代数的内容的形式。
 
由“数字符号化”而产生的中学“代数”的内容，的的确确是“数学中真正的进展”。“代数”的确是“更有力的工具和更简单的方法”，“算术”顾名思义，可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数字符号化”。人类从“算术”走向“代数”经历了千年。但在中学的课程中，却只花短短的几年，就可以全部学会这些内容。
 
回忆我在童年时代，在小学学习“算术”课程时，感到很难，例如：求解“鸡兔同笼”题，即：一个笼子中关着若干只鸡，若干只兔，已知共有多少个头，多少只脚，求有多少只鸡，多少只兔？当时老师讲的求解的方法，现在已完全记不得了，留下的印象是感到很难，而且纳闷的是：鸡与兔为何要关在一个笼子里？既数得清有多少个头及多少只脚？为何数不清有多少只鸡与多少只兔？等到初中时，学习了“代数”课程，才恍然大悟，这不过是二元一次联立代数方程组，解方程组十分简单方便，这不仅可以用来解“鸡兔同笼”，即使将鸭与狗关在一个房间中，来数头数与脚数，不妨叫做“鸭狗同室”问题，对这样的问题一样可以解。因之，“代数”显然比“算术”来得“高级”，这的确是“更有力的工具和更简单的方法”，而这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把“陈旧的、复杂的东西抛到一边”，也就是从“代数”的角度来理解“算术”可以理解得更深刻，而可以把“算术”中一些复杂的，处理个别问题的方法抛到一边去。
 
在这里，我要重复说一遍，尽管中学的“代数”比小学的“算术”来得“高级”，是“更有力的工具与更简单的方法”，但并不意味着小学的“算术”就可以不必学了，因为：
 
（1）“算术”中的一些内容不能完全被“代数”所替代，如四则运算等；
（2）即使能被替代的内容，适当的学习一些，有利于对“代数”内容的认识与理解；
（3）从教育学的角度考虑，这里有循序渐进的问题，有学生不同年龄段的接受能力的问题等等。
 
作为中学“代数”中的一个重要内容是解多元一次联立方程组，在中学“代数”的教材中，一般着重讲二元或三元一次联立方程组，所用的方法往往是消元法。但是如果变元为四个或更多时，就得另想办法来建立起多元一次联立方程组的理论。经过很多年的努力，矩阵的想法产生了，这不但给出了多元一次联立代数方程组的一般理论，而且由此建立起一门新的学科“线性代数”。这是又一次“数学中真正的进展”，由于“更有力的工具和更简单的方法”，即“矩阵”的发现，不仅对多元一次联立代数方程组的理解更为清楚、更为深刻，由于有了统一处理方法，可以把个别地处理方程组的方法“抛到一边”。
 
当然，“线性代数”是大学的课程，但它的产生的确再次印证了Hilbert所说的那段话。在中学“代数”中的另一个重要内容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算术》中已有解一般一元二次方程的算法，后来有很多的发展，直到al-khowarizmi（约783―850）相当于给出了一般形式的一元二次方程。
 
1545年G.Cardano（1501-1576）公布了由N.Fontana（1499－1557）发现了解一元三次方程的解，而一元四次方程的解由L.Ferrari（1522―1565）所解决。于是当时大批的数学家致力于更高次方程的求根式解，即企图只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算来表达方程的解。经过了二个世纪的努力，大批数学家都失败了，直到1770年J.?Lagrange（1736―1813）看到了五次及高次方程不可能做到这点，又过了半个世纪，1824年，N.?Abel（1802―1829）解决了这个问题，即对于一般的五次和五次以上的方程求根式解是不可能的。但什么样的特殊的代数方程能用根式来求解，这是E?Galois（1811―1832）所解决，而更为重要的是：为了解决这个问题，他建立起“群”的概念，这就意味着现代代数理论的产生，这是又一次“数学中真正的进展”。它是由于“更有力的工具和更简单的方法”，即“群”的发现而造成的，有了“群”以及后来发展起来的现代代数理论，可以更清楚、更深刻地理解以往高次代数方程求根式解的问题，而的确可以把以往那些“陈旧的、复杂的东西抛到一边”。
 
虽然“群”等近代代数的内容已超出中学教学的内容，但代数方程求根式解问题的提出到彻底解决，这三百年的过程，十分确切地印证了前面不断重复的Hilbert所说的那段话。
 
“群”的作用在历史上及现代数学中都是不可估量的。例如：1872年Klein提出著名的ErlangerProgramm，即认为各种几何学就是研究各种不同变换群下的不变性质。这个数学思想，不仅对几何学的发展，而且对整个数学的发展起了巨大的作用。